Enunciado

Encontre a área entre o gráfico de x o intervalo [ 0,1 ] .

Sugestão: Use o resultado do Exercício 25 da Seção 5.1.

Passo 1

Temos pelo exercício 25 da seção 5.1, que a área entre o gráfico de x que chamamos de A , e a área entre o gráfico de x 2 (chamamos de B ) nesse intervalo estão relacionados da seguinte forma:

A + B = 1

Vamos calcular a área de B pela definição então e aí descobrimos a área de A .

Passo 2

∇ x = 1 - 0 n = 1 n

x k * = 0 + k 1 n = k n

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n k n 2 1 n  

A =   l i m n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n k 2 n 2

A =   l i m n → ∞ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2

A = l i m n → ∞ 1 n 3 n n + 1 2 n + 1 6  

A = l i m n → ∞ 1 6 n 2 2 n 2 + 3 n + 1  

A = l i m n → ∞ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2

A = 1 3

Passo 3

Beleza, voltamos agora para:

A + B = 1

Ou seja...

1 3 + B = 1

B = 1 - 1 3

B = 2 3

E pronto! Achamos a área entre o gráfico x no intervalo 0,1 .

Resposta

1 3

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