Mostre que a área da elipse da figura abaixo é . [Sugestão: Use uma fórmula de Geometria]

Como nossa região tem simetria, podemos só achar a região que está no primeiro quadrante e multiplicar por quatro. Vamos achar uma nesse quadrante a partir da equação:

A gente percebe que como temos uma função que varia em , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra que coisa que vemos é que na nossa região, a função é a maior e é a menor. Além disso vemos também que no eixo , a região está limitada entre e . A integral, então, fica com essa carinha:

Agora é só calcular a integral:

Fazendo a substituição trigonométrica , e resolvendo a integral: