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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 50

Mostre que a área da elipse da figura abaixo é π a b . [Sugestão: Use uma fórmula de Geometria]

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la. Vamos lá!

Passo 2

Como nossa região tem simetria, podemos só achar a região que está no primeiro quadrante e multiplicar por quatro. Vamos achar uma y = f ( x ) nesse quadrante a partir da equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ∴ y = b 1 - x 2 a 2 = b a a 2 - x 2

A gente percebe que como temos uma função que varia em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra que coisa que vemos é que na nossa região, a função y = b a a 2 - x 2 é a maior e y = 0 é a menor. Além disso vemos também que no eixo x , a região está limitada entre 0 e a . A integral, então, fica com essa carinha:

A = 4 ∫ 0 a b a a 2 - x 2 d x

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A = 4 b a ∫ 0 a a 2 - x 2 d x

Fazendo a substituição trigonométrica x = a s e n ( θ ) , e resolvendo a integral:

A = 4 ⋅ 1 4 π a b

A = π a b

Resposta

Prova nos passos

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