Encontre a área da região envolvida pela curva x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) e os eixos coordenados.

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la. Vamos lá!

Passo 2

Essa é a nossa região:

Vamos achar uma y = f ( x ) , a partir da equação:

x 1 2 + y 1 2 = a 1 2 ∴ y = a 1 2 - x 1 2 2 = a - 2 a x + x

A gente percebe que como temos uma função que varia em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra que coisa que vemos é que na nossa região, a função y = a - 2 a x + x é a maior e y = 0 é a menor. Além disso vemos também que no eixo x , a região está limitada entre 0 e a . A integral, então, fica com essa carinha:

A = ∫ 0 a a - 2 a x + x d x

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A = ∫ 0 a a - 2 a x + x d x

A = a 2 - 2 a 1 2   2 3 a 3 2 + a 2 2 = a 2 - 4 3 a 2 + a 2 2 = a 2 6

Resposta

A = a 2 6

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