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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 25

Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4 π r 2 . [Sugestão: Gire o semicírculo y = r 2 - x 2 em torno do eixo x .]

Passo 1

Precisamos usar essa fórmula aqui para provar que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4 π r 2 :

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E o enunciado já dá um bizu para gente: podemos girar esse semicírculo f x = r 2 - x 2 em torno de x .

Vamos começar!

Passo 2

Já temos a função f ( x ) , então o que falta para usar a fórmulinha é descobrir os extremos de integração.

Temos um semicírculo de raio r também:

Então, pelo nosso desenho, vemos que nossa função está no intervalo a , b = [ - r , r ] .

Passo 3

Sabemos que:

f x = r 2 - x 2

Precisamos calcular a derivada dela, usando a regra da cadeia:

f ' x = - 2 x ⋅ 1 2 r 2 - x 2

Passo 4

Vamos substituir tudo na nossa fórmula:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

S = ∫ - r r 2 π r 2 - x 2 1 + - 2 x ⋅ 1 2 r 2 - x 2 2 d x

Agora é integrar! Elevando nossa derivada ao quadrado e jogando nossa f ( x ) para dentro da raiz, depois fazendo a distributiva e rearrumando, ficamos com isso:

S = 2 π ∫ - r r r 2 - x 2 + x 2 d x = 2 π ∫ - r r r 2 d x = 2 π ∫ - r r r d x = 4 π r 2

Uhul! Conseguimos!

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

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Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. c )y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 2
Calcule o comprimento do gráfico da função dada. f x = x , 1 4 ≤ x ≤ 3 4
Para x y = 1 ,1 ≤ y ≤ 2 ; eixo y :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça
Para y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2 ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça
Para y = t gx ,0 ≤ x ≤ π 4 ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, fa