Suponha que seja uma curva suave no intervalo e que para cada . Deduza uma fórmula para a área da superfície gerada quando a curva , , gira em torno da reta ().

Primeiro vamos analisar os parâmetros que regiam a equação da área da antiga superfície, a que girava em torno de :

Olha na figura a curva que a gente tem, de uma forma genérica:

Vemos que é a inclinação da nossa curva, é o nosso intervalo e é a distância dos pontos da curva até o eixo de rotação.

Vamos seguir!

Vamos analisar a nova situação e ver como os nossos parâmetros mudaram.

Olha na figura a curva que a gente tem, de uma forma genérica:

Vemos que e não mudam. Mas repara que distância dos pontos da curva até o eixo de rotação não é mais , e sim . E essa é a mudança que a gente vai fazer na equação antiga.

Se tínhamos isso:

No lugar de , colocamos :

Tá aí nossa equação novinha em folha! 😊