Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

f(x) = raiz(x), 1/4 <= x <= 3/4

Passo 1

Como provado na questão 2 o comprimento de uma função f ( x ) no intervalo x ∈ a , b é dado por

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Então, derivando a função

f ' x = 1 2 x

E o comprimento é dado por

L = ∫ 1 / 4 3 / 4 1 + 1 2 x 2   d x = ∫ 1 / 4 3 / 4 1 + 1 4 x   d x

Passo 2

Resolvendo a integral

∫ 1 / 4 3 / 4 1 + 1 4 x   d x = ∫ 1 / 4 3 / 4 4 x + 1 4 x   d x

Vamos esquecer os limites por enquanto.

∫ 4 x + 1 4 x   d x

Vamos utilizar a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d x = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d x

Neste caso nossas funções são

f = 4 x + 1 4 x g ' = 1   →   f ' = 1 2 4 x + 1 4 x 4 4 x - ( 4 x + 1 ) 4 4 x 2 = - 1 8 x 2 4 x + 1 4 x g = x

E temos

∫ 4 x + 1 4 x   d x = x 4 x + 1 4 x + ∫ d x 8 x 4 x + 1 4 x

Passo 3

Olhando então para essa nova integral

∫ d x 8 x 4 x + 1 4 x

Vamos manipular um pouco

= ∫ 4 x   d x 8 x 4 x + 1 = ∫ 2 x   d x 8 x 4 x + 1

= 1 4 ∫   d x x 4 x + 1

Aplicando a substituição

u = x d u = 1 2 x   d x

= 1 4 ∫ 2   d u 4 u 2 + 1

Utilizando então a substituição trigonométrica

2 u = tg ⁡ α ⇒ 4 u 2 = tg 2 ⁡ α 2   d u = sec 2 ⁡ α d α

= 1 4 ∫ sec 2 ⁡ α d α tg 2 ⁡ α + 1 = 1 4 ∫ sec 2 ⁡ α d α tg 2 ⁡ α + 1

= 1 4 ∫ sec 2 ⁡ α d α sec ⁡ α = 1 4 ∫ sec ⁡ α d α

= 1 4 ln ⁡ sec ⁡ α + tg ⁡ α + C

Retornando as variáveis anteriores, utilizando o triangulo:

= 1 4 ln ⁡ 4 u 2 + 1 + 2 u + C

E temos

∫ d x 8 x 4 x + 1 4 x = 1 4 ln ⁡ 4 x + 1 + 2 x + C

Portanto

∫ 4 x + 1 4 x   d x = x 4 x + 1 4 x + 1 4 ln ⁡ 4 x + 1 + 2 x + C

Passo 4

Retornando os limites de integração

∫ 1 / 4 3 / 4 4 x + 1 4 x   d x = x 4 x + 1 4 x + 1 4 ln ⁡ 4 x + 1 + 2 x 1 4 3 4

= 3 4 3 + 1 3 + 1 4 ln ⁡ 3 + 1 + 2 3 4 - 1 4 1 + 1 1 + 1 4 ln ⁡ 1 + 1 + 2 1 4

= 3 2 + 1 4 ln ⁡ 2 + 3 - 2 4 - 1 4 ln ⁡ 2 + 1

= 3 2 - 2 4 + 1 4 ln ⁡ 2 + 3 1 + 2

Resposta

3 2 - 2 4 + 1 4 ln ⁡ 2 + 3 1 + 2

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