Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 27
A parte da esfera cortada por dois planos paralelos é chamada de zona. Use o resultado do Exercício 26 para mostrar que a área da superfície de uma zona depende do raio da esfera e da distância entre os planos, mas não da localização da zona.
Passo 1
Precisamos usar essa fórmula aqui para fazer essa prova:
E o enunciado já dá um bizu para gente: usamos os resultados do exercício 26, onde vimos que podemos girar uma parte do círculo em torno de . E como vamos girar em torno de , precisamos fazer umas modificações na fórmula (só trocar e de lugar):
Vamos começar!
Passo 2
Que parte do círculo pode nos ajudar? Se vamos girar em torno de , precisamos isolar na equação do círculo para achar :
Podemos usar o semicírculo na parte positiva de :
Agora precisamos achar os extremos de integração. Repara no nosso desenho:
Em azul é a região que a gente chama de zona. Nossa função descreve o semicírculo do lado direito. Se a gente posicionar os planos nas alturas genéricas e , podemos usar esses valores como os extremos de integração.
Passo 3
Sabemos que:
Precisamos calcular a derivada dela, usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos substituir tudo na nossa fórmula:
Agora é integrar! Elevando nossa derivada ao quadrado e jogando nossa para dentro da raiz, depois fazendo a distributiva e rearrumando, ficamos com isso:
Agora repara que depende de e , só que é exatamente a distância entre planos. Se a gente não tiver os valores de e , mas tivermos , conseguimos calcular a área.
Logo, a área só depende do raio e a distância Então provamos o que o enunciado pediu. 😊
Resposta
Prova desenvolvida nos passos.