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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 78

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Uma função

z = f x 1 , … ,   x n

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, teremos que calcular as derivadas parciais da nossa função, somar tudo e checar se a soma é igual a 0. Vamos nessa!!!

Calculando as derivadas parciais.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x tan - 1 ⁡ x y = 1 1 + x y 2 ⋅ ∂ ∂ x x y = 1 1 + x y 2 ⋅ y - 1 = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ y 1 y + x 2 y = 1 y 2 + x 2 y = y x 2 + y 2

Passo 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y tan - 1 ⁡ x y = 1 1 + x y 2 ⋅ ∂ ∂ y x y = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y - 2 = - x 1 + x 2 y 2 ⋅ y 2 = - x x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 0 ) - y ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2

Passo 3

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - x x 2 + y 2 = - x 2 + y 2 0 - x 2 y x 2 + y 2 2 = - - 2 x y x 2 + y 2 2 = 2 x y x 2 + y 2 2 C a l c u l e   o   L a p l a c i a n o   e   v e r i f i q u e   s e   e l e   é   i g u a l   a   0 . ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2 + 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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