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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 75

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Uma função

z = f x 1 , … ,   x n

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, teremos que calcular as derivadas parciais da nossa função, somar tudo e checar se a soma é igual a 0. Vamos nessa!!!

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e - 2 y c o s ⁡ 2 x = e - 2 y ⋅ ( - s i n ⁡ 2 x ) ⋅ 2 = - 2 e - 2 y s i n ⁡ 2 x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e - 2 y c o s ⁡ 2 x = c o s ⁡ 2 x ⋅ e - 2 y ⋅ ( - 2 ) = - 2 e - 2 y c o s ⁡ 2 x

Passo 2

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 2 e - 2 y sin ⁡ 2 x = - 2 e - 2 y cos ⁡ 2 x ⋅ 2 = - 4 e - 2 y cos ⁡ 2 x

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2

= - 4 e - 2 y cos ⁡ 2 x + 4 e - 2 y cos ⁡ 2 x

= 0

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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