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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 78c

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(c) u = x - a t 6 + x + a t 6

Passo 1

Show de bola, galera!

A gente tem a equação da onda dada por:

u t t = a 2 u x x

E queremos provar que:

u = x - a t 6 + x + a t 6

É solução dessa equação.

Não tem mistério....

Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

O que iremos fazer então é derivar u duas vezes em relação a t e duas vezes em relação a x e colocar na relação dada para provarmos o que nos foi pedido.

Aqui o que temos que fazer em muitos momentos é utilizar a regra da cadeia, pois temos funções dentro das funções potência.

Passo 2

Dando início a nossa derivação:

u = x - a t 6 + x + a t 6

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t x - a t 6 + x + a t 6

u t = ∂ ∂ t g t 6 ⋅ ∂ ∂ t x - a t + ∂ ∂ t g t 6 ⋅ ∂ ∂ t x + a t

u t = 6 a a t - x 5 + a t + x 5

Vamos repetir o processo, novamente derivando em relação a t :

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t 6 a a t - x 5 + a t + x 5

u t t = 6 a ∂ ∂ t g t 5 ⋅ ∂ ∂ t a t - x + 6 a ∂ ∂ t g t 5 ⋅ ∂ ∂ t x + a t

u t t = 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

Agora é hora de derivar em relação a x :

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x x - a t 6 + x + a t 6

u x = ∂ ∂ x g x 6 ⋅ ∂ ∂ x x - a t + ∂ ∂ x g x 6 ⋅ ∂ ∂ x x + a t

u x = 6 ( - a t + x ) 5 + ( a t + x ) 5

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

Agora vamos derivar novamente em relação a x :

u x x = ∂ ∂ x 6 - a t + x 5 + a t + x 5

u x x = 6 ∂ ∂ x g x 5 ⋅ ∂ ∂ x a t - x + 6 ∂ ∂ x g x 5 ⋅ ∂ ∂ x x + a t

u x x = 30 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 = a 2 30 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

Então conseguimos provar a relação:

→ 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 = 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 ⏟ O K  

Resposta

Ver solução.

Ver Outros Exercícios desse livro