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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 67

Determine a derivada parcial indicada.

u = e r θ s e n θ

∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função u e pede para que encontremos uma derivada parcial específica, nesse caso de terceira ordem. Relembrando: Para calcular uma derivada parcial em uma variável tratamos as demais como constante e derivamos normal. A diferen��a para esse caso é que buscamos uma derivada de terceira ordem, ou seja, vamos precisar derivar três vezes, seguindo a ordem do “denominador” da derivada!

Passo 2

Veja que a questão nos pede

∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ

E para chegarmos nesse resultado devemos seguir a seguinte cronologia:

∂ u ∂ θ →   ∂ ² u ∂ r   ∂ θ →   ∂ ³ u ∂ ² r   ∂ θ

Ou seja, vamos derivar a função uma vez em θ e depois duas vezes em r

Seja a função u

u = e r θ s e n θ

Mas observe que para encontrar a derivada em θ (tratando r como constante) usaremos a regra do produto, afinal temos duas funções em termo de θ

Relembrando a regra do produto:

Se temos uma função

z = f ( x ) g x

A derivada dessa função vai ser dada por:

z ' = f x ' g x + f ( x ) g x '

Assim, para o nosso caso:

∂ u ∂ θ = e r θ   r   s e n θ +   e r θ c o s θ

Observe que também foi usado uma regra da cadeia simples ao derivar e r θ

∂ u ∂ θ = e r θ ( r   s e n θ + c o s θ )

Seguindo o processo, agora derivando em relação a r (tornando θ constante)

∂ 2 u ∂ r   ∂ θ = e r θ θ r   s e n θ + c o s θ + e r θ s e n θ

Observe que mais uma vez foram usadas as regras da cadeia e do produto

∂ 2 u ∂ r   ∂ θ = e r θ θ   r   s e n θ + θ   c o s θ + s e n θ

E por fim, derivando uma última vez em relação a r

∂ ³ u ∂ r ²   ∂ �� = θ e r θ θ   r   s e n θ + θ   c o s θ + s e n θ +   e r θ θ   s e n θ

E, surpreendendo 0 pessoas, usamos as regras da cadeia e do produto de novo

∂ ³ u ∂ r ²   ∂ θ = θ e r θ   ( 2   s e n θ +   θ   r   s e n θ + θ   c o s θ )

Resposta

∂ ³ u ∂ r ²   ∂ θ = θ e r θ   ( 2   s e n θ +   θ   r   s e n θ + θ   c o s θ )

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