No início desta seção consideramos a função f x , y = sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 e conjecturamos que f x ,y → 1 quando x ,y → 0 ,0 com base em evidências numéricas. Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite. Em seguida, faça o gráfico da função.

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Enunciado

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

O enunciado ainda nos disse como dado que quando .

Queremos utilizar coordenadas polares para comprovar o valor do limite. E, por fim, iremos esboçar o gráfico de .

Para isso, primeiramente precisamos lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

Agora bora aplicar!! 😉

Aplicando a conversão no nosso limite, temos:

Sabemos que , portanto:

Sabemos do limite fundamental que , portanto:

Show de bola, galera! Agora vamos só dar uma olhada no gráfico dessa nossas função para observar o seu comportamento.

Perceba que no ponto o ponto de máximo da função é .