No início desta seção consideramos a função

f(x, y) = sen((x^2 + y^2)) / (x^2 + y^2)

e conjecturamos que f(x, y) → 1 quando (x, y) → (0, 0) com base em evidências numéricas. Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite. Em seguida, faça o gráfico da função.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

O enunciado ainda nos disse como dado que x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 .

Queremos utilizar coordenadas polares para comprovar o valor do limite. E, por fim, iremos esboçar o gráfico de f x , y .

Para isso, primeiramente precisamos lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a conversão no nosso limite, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Sabemos que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , portanto:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 r 2

Sabemos do limite fundamental que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = 1 , portanto:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Passo 3

Show de bola, galera! Agora vamos só dar uma olhada no gráfico dessa nossas função para observar o seu comportamento.

Perceba que no ponto 0,0 , 0 o ponto de máximo da função é 1 .

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

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