Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 81
Mostre que
comparando o integrando a uma função mais simples.
Passo 1
Oie, tudo certo por aí 😁?
Nessa questão, precisamos mostrar que o valor da integral definida
está entre e , fazendo comparações do integrando
com uma função mais simples. Observe que como o integrando é muito complicado, então o cálculo dessa integral é uma tarefa inviável.
Sendo assim, vamos fazer o seguinte: Trocamos a função por uma função parecida que é mais fácil de integrar! Depois, usamos a propriedade comparativa de integrais:
- Se para , então
🤔 Mas como vamos integrar essa nova função ?
Pra facilitar nosso trabalho, vamos relembrar da Parte do Teorema Fundamental do Cálculo:
- Se é uma primitiva de , ou seja, se , então
- Uma primitiva da função é
Vamos lembrar também da Regra da Potência:
para
Beleza, temos as ferramentas necessárias para resolver essa questão. Bora lá 😎!
Passo 2
Vamos começar mostrando que
Como
então definindo a função constante vamos ter que
para todo .
Mais ainda, vale que
Essa integral aí de cima não tem muito mistério né? Lembre-se que
Dessa forma, pela propriedade comparativa, temos que
Foi uma desigualdade! Vamos ver como mostrar a outra.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
Para isso, vamos ter que ser espertos e reescrever a função Dividindo por o numerador e o denominador de temos que
ou seja,
Como
para todo temos que
Dessa forma, definindo temos que
para todo .
Novamente, pela propriedade comparativa das integrais, vale que
Tá, mas como usamos isso para mostrar que
Espia só o próximo Passo!
Passo 4
Descobrimos que
onde
Dessa forma, se tivermos que
provamos o que
Usando a Regra da Potência em , vamos ter que
é uma primitiva de
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vale que
Oras, como
e
então temos que
Maravilha! Com isso, provamos que
Resposta
O desenvolvimento foi feito nos passos anteriores.