Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 70
A função erro dada por
É muito usada em probabilidade, estatística e engenharia.
a) Mostre que
b) Mostre que a função satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função erro:
Queremos mostrar que:
Para isso, precisaremos utilizar a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:
Se for contínua em , então
Onde é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que .
Em seguida, temos que mostrar que se
Então
Bora lá!! 😉
Passo 2
a) Para demonstrar isso, vamos separar a integral em duas, para isso é só a gente fazer
Agora, vamos deixar as duas integrais indo de 0 até o limite superior, para isso basta a gente fazer
Agora, vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar e dividir cada parcela por . Assim:
Veja que dessa forma fizemos a função erro aparecer, então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Passo 3
b) Para provar isso, vamos primeiramente calcular a derivada da função usando a regra da cadeia e a regra do produto, então
Precisamos agora calcular a derivada da função erro, podemos calcular pela parte 1 do teorema fundamental do calculo, que diz o seguinte:
Se
Então
Daí, temos que
Substituindo em ficamos com
Resposta
Demonstração