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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 15b

15. Calcule

b ) int s e n 2 x s e n 5 x d x

Passo 1

Precisamos usar a identidade trigonométrica sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos ( a + b )] . Logo,

int s e n 2 x s e n 5 x d x = int (1)/(2) [cos (2 x - 5 x) - cos ( 2 x + 5 x )] d x

= (1)/(2) int [cos (- 3 x) - cos 7 x] d x

Passo 2

Sabemos que int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Então,

(1)/(2) int [cos (- 3 x) - cos 7 x] d x = (1)/(2) ((1)/((- 3)) sin (- 3 x) - (1)/(7) sin 7 x) + k

= - (1)/(6) sin (- 3 x) - (1)/(14) sin 7 x + k

Como seno é uma função ímpar, sin (- 3 x) = - sin 3 x . Ficamos com:

= - (1)/(6) sin (- 3 x) - (1)/(14) sin 7 x + k = (1)/(6) sin 3 x - (1)/(14) sin 7 x + k

Resposta

Logo, a resposta de integral é

int s e n 2 x s e n 5 x d x = (1)/(6) sin 3 x - (1)/(14) sin 7 x + k

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