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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 68

Demonstre a fórmula onde m e n são números inteiros e positivos

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 0 ,     s e   m ≠ n π ,     s e   m = n

Passo 1

Não vai ser tão complicado demonstrar isto, você so precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin ⁡ A sin ⁡ B = 1 2 cos ⁡ A - B - c o s ⁡ ( A + B )

Então, substituindo na integral, temos

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x

Vamos analisar os dois casos possíveis:

  1. Se m ≠ n , temos

    2. ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x = 1 2 sin ⁡ m - n x m - n - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 0

    Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m - n ) e ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m - n x = 0 e s in ⁡ m + n x = 0

  2. Se m = n , temos

∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ 0 - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 1 - cos ⁡ m + n x d x = 1 2 x - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 1 2 π - 0 - - π - 0 = 1 2 π + π = π

Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m + n x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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