Enunciado

Faça um esboço do gráfico de uma função f satisfazendo as hipótese do Teorema 2.10.3 para a qual f 2 não é definida. A função f está definida no intervalo aberto 1 ,   3 , exceto em 2. Além disso, seja f x ≤ 5 se 0 < x - 2 < 1 e seja lim x → 2 ⁡ f ( x ) igual ao número   L . Mostre, na figura, que L ≤ 5 .

Passo 1

Vamos tomar

f x = x 2 - 4 x - 2

E que satisfaz a condição de intervalo 1 ,   3 e por ser uma função racional x - 2   ≠ 0 , que equivale a racional x   ≠ 2 , ou seja, não está definida em 2.

Passo 2

Agora vamos determinar lim x → 2 ⁡ f ( x )

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x - 2 =   lim x → 2 ⁡ x - 2 x + 2 x - 2

=   lim x → 2 ⁡ ( x + 2 )

= ( 2 + 2 )

= 4

Passo 3

Como lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x - 2 = 4 ≤ 5 , então esta função f x satisfaz todas as condições e nos resta esboçar o gráfico de f x .

Resposta

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Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
Use a continuidade para avaliar o limite.
Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é contínua para qualquer número em seu domínio. Explicite o domínio.
Use a continuidade para avaliar o limite.
Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é contínua para qualquer número em seu domínio. Explicite o domínio.