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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 27

Mostre que W (e^(lambda t) cos mu t , e^(lambda t) s e n mu t) = mu e^(2 lambda t)

Passo 1

A melhor forma de determinarmos um Wroskiano a partir das funções dadas é com base no determinante.

W = d e t ([[f_1,cdots,f_n],[vdots,ddots,vdots],[f_1^n,cdots,f_n^n]])

Passo 2

Queremos calcular o Wroskiano dado, então temos que

W = d e t |[[e^(lambda t),cos mu t,e^(lambda t),,s,e,n,,mu,t],[lambda,e^(lambda t),cos mu t,-,mu,e^(lambda t),s,e,n,,mu,t,lambda,e^(lambda t),sen mu t,+,mu,e^(lambda t),c,o,s,,mu,t]]|

Resolvendo o determinante, temos

e^(lambda t) cos mu t (lambda e^(lambda t) sen mu t + mu e^(lambda t) c o s mu t) - e^(lambda t) s e n mu t ( lambda e^(lambda t) cos mu t - mu e^(lambda t) s e n mu t )

Sim .. parece ser extenso, mas a gente consegue. Seguindo

lambda e^(2 lambda t) cos mu t s e n mu t + mu e^(2 lambda t) cos^2 mu t - lambda e^(2 lambda t) s e n mu t cos mu t + mu e^(2 lambda t) s e n^2 mu t

O primeiro e terceiro termos se anulam e ficamos com

mu e^(2 lambda t) (cos^2 mu t + s e n^2 mu t) = mu e^(2 lambda t)

Como queríamos mostrar. Parece que não era tão difícil assim né

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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