Mostre que a curva polar r = 4 + 2 sec ⁡ θ (chamada conchóide) tem a reta x = 2 como uma assíntota vertical mostrando que no limite lim r → ± ∞ ⁡ x = 2 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchóide.

Passo 1

O exercício fornece uma curva em coordenadas polares:

r = 4 + 2 sec ⁡ θ

Que pode ser reescrita como:

r = 4 + 2 cos ⁡ θ

É pedido para mostrarmos que a reta x = 2 é uma assíntota vertical. Isso significa que nossa curva polar vai chegar bem perto da reta x = 2 mas nunca irá toca-la.

Para isso, temos que mostrar que

lim r → ± ∞ ⁡ x = 2

Note que r → ± ∞ quando θ → ± π 2 .

Assim, temos que tomar o limite de x quando θ → ± π 2 .

Passo 2

Como x = r cos ⁡ θ :

x = 4 + 2 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

x = 4 cos ⁡ θ + 2

Quando

θ → ± π 2

cos ⁡ θ → 0

Assim,

x → 2

Portanto, quando r explode, x → 2 .

Assim, a reta x = 2 é assíntota vertical da curva. Um esboço dela é dado a seguir:

Resposta

Demonstração e esboço.

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