Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 6
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
(ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
a) b)
Passo 1
Então meu amigo, vamos resolver essa atividade juntos.
O problema fornece as coordenadas de dois pontos em coordenadas cartesianas e pede para acharmos as coordenadas polares. Temos os pontos:
Para isso, lembre-se que
Assim, para que possamos encontrar as coordenadas em coordenadas polares, deveremos encontrar o valor de , depois iremos substituir nas equações de e e assim encontramos o valor de .
Passo 2
Para :
Vamos de encontrar o valor de :
Portanto,
O ângulo deve estar no terceiro quadrante como podemos ver pelo círculo trigonométrico:
Logo, as coordenadas polares desse ponto são:
Para descrever esse ponto com , se somarmos no ângulo vamos obter . Assim, neste caso vamos subtrair . Ou você pode observar que como temos o raio oposto ao, é só caminhar ao ângulo oposto no círculo trigonométrico que mostramos:
Passo 3
Basta fazer o mesmo com o segundo ponto:
Calculando o raio:
Assim,
Portanto, vemos que o ângulo está no segundo quadrante.
Poderíamos dizer que seria o arco seno de , mas aqui aparece um problema: a função arco seno está definida para o primeiro e quartos quadrantes. Uma forma de resolver esse problema:
Assim,
Para , basta somar no ângulo: