Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 78
Mostre que as curvas e tocam a curva em seu ponto de inflexão.
Passo 1
Oi meus queridos, nessa questão queremos provar que as curvas
e
tocam a curva
no seu ponto de inflexão.
Bom, podemos primeiro aqui encontrar o ponto de inflexão dessa curva e aí verificar se nesse ponto essas curvas se interceptam.Lembrando que o ponto de inflexão ocorre quando encontramos a segunda derivada de uma função e encontramos o ponto onde essa segunda derivada muda de sinal, o que significa que a concavidade da função altera de direção.
Para isso, vamos encontrar a segunda derivada e iguala-la a zero.
Passo 2
Para achar o ponto de inflexão devemos achar a segunda derivada e igualar a zero, vamos lá!!
Para achar a primeira derivada vamos usar as regras da derivada da função exponencial, da cadeia, do polinômio e da função trigonométrica:
Passo 3
Vamos agora encontrar a primeira derivada vamos usar também a regra do produto:
Então vamos lá:
Aplicando a regra do produto, temos:
Aplicando a regra da cadeia para derivar a exponencial negativa, temos:
Passo 4
Vamos agora para a segunda derivada:
Aplicando a regra do prodto
Aplicando a regra da cadeia para derivar a exponencial negativa
Colocando a exponencial em evidência.
Igualando a zero:
Como a exponencial nunca é zero, temos que:
E o cosseno zera para valores e por aí vai, logo:
Passo 5
Assim, são os valores que há ponto de inflexão, substituindo esse valor na função temos:
Dessa forma, nesses pontos a função vale:
E
Assim, intercepta as outras curvas em seus pontos de inflexão.
Resposta
Demonstração nos passos.