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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 13

Mostre que dentre todos os retângulos com área A , o quadrado tem o perímetro mínimo.

Passo 1

Imaginemos um retângulo com lados x e y . As expressões pra área A e pro perímetro p são, respectivamente:

A = x y

p = 2 x + 2 y

Vamos escrever y em função de x , a partir da expressão da área, pra que possamos reescrever a expressão do perímetro somente em função de x .

y = A x

Passo 2

Substituímos essa expressão pra y na expressãodo perímetro, e obtemos o seguinte:

p ( x ) = 2 x + 2 ∙ A x

Nosso próximo passo é determinar o valor de x que nos forneça o menor valor de perímetro possível. Fazemos isso por derivar a função p ( x ) e igualar a derivada a zero.

Nisso, teremos os pontos críticos. Entre eles, os pontos de máximo e de mínimo (aqui nos interessa o de mínimo).

Passo 3

Derivando, temos:

p ' ( x ) = 2 - 2 A x 2

Igualamos a zero:

2 - 2 A x 2 = 0

2 A x 2 = 2

A x 2 = 1

x 2 = A

x = + A ou x = - A

No caso, só faz sentido a resposta que x = + A pois x representa uma dimensão, um comprimento, e não pode ter valor negativo, assim como a área A também é necessariamente positiva.

Passo 4

Já temos o valor pra x . Agora, precisamos do valor de y . Determinamos ele a partir da expressão que temos a partir da área.

y = A x

∴ y = A A = A

Sendo x = A e y = A , concluímos que o retângulo tem lados iguais, portanto é um quadrado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.
(Continuação do Exercício 13.)b. Mostre que f tem um valor máximo local em x = 5 7 ≈ 1,2585 e um valor mínimo local em x = 2 3 ≈ 1,2599 .
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (10) f x = 3 x 4 - 2 x 3 - 12 x 2 - 6 x - 1 ; ( - ∞ , ∞ ) .