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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 8

Mostre diretamente que a série para J 1 ( x ) , Eq. (27), converge absolutamente para todo x e que:

J 0 ' x = - J 1 ( x )

Passo 1

Para testar a convergência, usamos o teste de proporção. Para x fixo, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 3 2 2 n + 3 n + 2 ! n + 1 ! - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 n ! n + 1 ! = x 2 lim n → ∞ ⁡ 1 4 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = x 2 . 0 = 0

Como L   < 1 para cada opção de x , a série para J 1 converge absolutamente para todos os x .

Passo 2

Nós temos:

J 0 ' x = 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n ! 2 2 2 n ' = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 1 n - 1 ! n ! 2 2 n - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 n + 1 ! n ! 2 2 n + 1

= - x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n + 1 ! n ! 2 2 n = - J 1 ( x )

Resposta

J 1 converge para todo x .

- x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n + 1 ! n ! 2 2 n = - J 1 ( x )

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