Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 5
Encontre duas soluções (que não sejam uma múltipla da outra) para a equação de Bessel de ordem :
Passo 1
Das observações na página 296, temos o seguinte:
é um ponto singular regular
,
a equação indical com as raízes
Pelo Teorema 5.6.1, a primeira solução é dada por:
Os coeficientes , além de , são determinados pela relação de recorrência (8) da página 289 do livro, que é, no caso de
Onde:
E
(2) e (3) implicam, respectivamente:
Fatorando temos:
Passo 2
Os elementos de são :
Portanto:
Passo 3
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Como é um número inteiro, pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:
Onde:
Como e
Nós temos:
E:
As duas derivadas de são :
E:
Passo 4
Substituindo as equações na equação de Bessel:
Combinando os termos, teremos:
Unindo os termos em comum, teremos:
Então, arrumando:
Passo 5
Transformando a equação dos coeficientes de ambos os lados, teremos:
Com isso, temos um sistema de equações que nos permite encontrar:
Todo é um múltiplo de para . Pode-se provar usando indução matemática que todo para par (ímpar) n é um múltiplo de . Portanto:
Para todos os , se , pertence aos números naturais para , nós temos:
Dessa maneira, a segunda solução será: