Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4, mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x   =   0 , e determine duas soluções para x   >   0 .

x 2 y ' ' + 3 x y ' + 1 + x y = 0

Passo 1

Sendo a nossa equação:

x 2 y ' ' + 3 x y ' + 1 + x y = 0

A partir da equação dada podemos dizer que: P ( x ) = x 2 , Q ( x ) = 3 x e R x = 1 + x .

Onde o único ponto singular é x 0 = 0 .

Aplicando nas condições de singularidade, teremos:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) Q x P x = lim x → 0 ⁡ x 3 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 3 = 3 ( = p 0 )  

E também:

lim x → ⁡ ( x - x 0 ) 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 1 + x x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 + x = 1 ( = q 0 ) ⁡  

Como ambos são finitos ,   x 0 = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial fornecida. Como p 0 = 3 e q 0 = 1 , a equação indical correspondente é:

F ( r ) = r ( r - 1 ) + p 0 r   + q 0

=   r ( r - 1 ) + 3 r + 1

=   r + 1 2   =   0

Com raízes

r 1 = - 1

r 2 = - 1

Passo 2

Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = x - 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n  

Os coeficientes a n ( - 1 ) , além de a 0 ( - 1 ) = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r   =   r 1 .

n 2 a n 0 + ∑ k = 0 n - 1 a k 0 k p n - k + q n - k = 0

Onde:

∑ n = 0 ∞ p n x n = x Q x P ( x ) = 3

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 R x P ( x ) = 1 + x

Respectivamente, conseguimos dizer que:

p 0 = 3 ,   p n = 0

q 0 = 1 ,   q 1 = 1 ,   q n = 0

Fatorando a n ( - 1 ) , teremos:

a n - 1 = - ∑ k = 0 n - 1 a k - 1 [ k - 1 p n - k + q n - k ] n 2

Com o primeiro par de elementos:

a 1 - 1 = - a 0 - 1 ( - p 1 + q 1 ) 1 2 = - 1 1 = - 1

a 2 - 1 = - [ a 0 - 1 - p 2 + q 2 + a 1 - 1 q 1 ] 2 2 = - - 0 - 1 2 2 = 1 2 ! 2

a 3 = - [ a 0 - 1 - p 3 + q 3 + a 1 - 1 q 2 + a 2 - 1 p 1 + q 1 ] 3 2 = - 0 + 0 + 1 2 2 3 2 = - 1 3 ! 2

Por indução matemática, a primeira solução é:

y 1 x = x - 1 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 2 x n = x - 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 x n

Passo 3

Já encontramos y 1 agora precisamos encontrar y 2 .

Como r 1 - r 2 = 0 é um número inteiro, pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:

y 2 x = y 1 x ln ⁡ x + x r 1 ∑ n = 1 ∞ b n r 1 x n

= y 1 x ln ⁡ x + ∑ n = 0 ∞ b n + 1 - 1 x n

Tendo determinado   b n ( - 1 ) , substituímos na equação diferencial os valores para y 2 '   e   y 2 ' ' :

y 2 ' = y 1 ' x ln ⁡ x + y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n b n + 1 - 1 x n - 1  

y 2 ' ' x = y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 y 1 ' x x - y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n + 1 - 1 x n - 2

Nós também diferenciamos uma vez:

y 1 ' x = x - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n + 1 - 1 x n ' = - x - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n + 1 - 1 x n - 1

Passo 4

Substituindo nas equações, nós temos que:

x 2 y 2 ' ' + 3 y 2 ' + 1 + x y 2 =

Substituindo teremos:

= x 2 y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 y 1 ' x x - y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n + 1 - 1 x n - 2 + 3 x y 1 ' x ln ⁡ x + y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n b n + 1 - 1 x n - 1   + y 1 x ln ⁡ x + ∑ n = 0 ∞ b n + 1 - 1 x n + x y 1 x ln ⁡ x + ∑ n = 0 ∞ b n + 1 - 1 x n

Reorganizando teremos:

= ln ⁡ x x 2 y 1 ' ' + 3 x y 1 ' + 1 + x y 1 + 2 x y 1 ' x + 2 y 1 x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n + 1 - 1 x n + 3 ∑ n = 1 ∞ n b n + 1 - 1 x n + ∑ n = 0 ∞ b n + 1 - 1 x n + ∑ n = 0 ∞ b n + 1 - 1 x n + 1

Mais uma vez:

= 2 a 1 - 1 + b 1 - 1 + [ 4 b 2 - 1 + b 1 - 1 + 4 a 2 - 1 ) ] x + ∑ n = 2 ∞ 2 n + 1 a n + 1 - 1 + n + 1 2 b n + 1 - 1 + b n - 1 x n = 0

Passo 5

Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:

b 1 - 1 = - 2 a 1 - 1 = - 2 - 1 2 . 1 1 ! 2

b 2 - 1 = - b 1 - 1 - 4 a 2 ( - 1 ) 4 = - 2 - 1 2 1 + 1 2 2 ! 2 = - 2 - 1 2 H 2 2 ! 2

2 n + 1 a n + 1 - 1 + n + 1 2 b n + 1 - 1 + b n - 1 = 0

Por indução matemática, se c 1 - 2 = 1 , podemos calcular os demais termos:

b n - 1 = - b n - 1 - 1 - 2 n a n ( - 1 ) n 2

Assim, a segunda solução será:

y 2 x = y 1 x ln ⁡ x - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + H n n ! 2   x n    

Resposta

y 1 x = x - 1 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 2 x n = x - 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 x n

y 2 x = y 1 x ln ⁡ x - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + H n n ! 2   x n    

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular