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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 44

Se uma partícula com massa m se move com vetor posição r t , então seu momento angular é definido como L t = m   r t × v t e seu torque é definido como τ t = m   r t × a t . Mostre que L ' t = τ t . Deduza que’, se τ t = 0 para todo t , então L t é constante. (Esta é a lei de conservação do momento angular.)

Passo 1

Fala ai pessoal! Temos uma questãozinha de Física por aqui. Vamos juntos aplicar todo o nosso conhecimento de cálculo para resolve-la? Partiu! 😊

A questão busca demonstrar que a derivada do momento angular de uma partícula em relação ao tempo seja igual ao torque que atua sobre ela, e, consequentemente, deduzir a lei de conservação do momento angular. Para isso, é necessário

Calcular a derivada do momento angular em relação ao tempo e compará-la com o torque.

Mas tem uma observação!!! Se liga na DICA. Se a derivada do momento angular for igual ao torque em todos os instantes, então, se o torque total for zero, o momento angular será constante ao longo do tempo, estabelecendo assim a conservação do momento angular.

Mãos a obra!

Passo 2

Antes de começarmos vou apresentar algumas grandezas 😉

r t = v e t o r   p o s i ç ã o

L t = m o m e n t o   a n g u l a r  

v t = v e t o r   v e l o c i d a d e

τ t = t o r q u e

m = m a s s a

a t = v e t o r   a c e l e r a ç ã o

Passo 3

Galera agora podemos iniciar. Vamos calcular a derivada do momento angular L t = m r t   x   v t em relação ao tempo.

L t = m   r t × v t

L t = d d t m   r t   x   v t

Tirando a constante ( m ) da derivada.

L t = m d d t   r t   x   v t

Para isso, usaremos a regra do produto para derivada.

u . v ' = u ' v ∙ u v '

u = r

d u = d r d t

v = v

d v = d v d t

Substituindo os termos

L t = m d r d t x   v + r   x d v d t

Passo 4

Vamos simplificar a equação? Temos v = d r d t , então a expressão ficará:

m v   x   v + r   x d v d t

O produto vetorial entre a mesma grandeza é zero ( v   x   v = 0 )

m r   x d v d t

Temos que, d v d t é a aceleração a ( t ) , então podemos reescrever a expressão como:

m r   x   a ( t )

Passo 5

A equação acima é exatamente a representação do torque ( τ ) . Podemos concluir que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque no instante t .

d d t m r   x d v d t = τ t = L ' ( t )

Agora, para deduzir a conservação do momento angular, vamos supor que τ t = 0 para todo t . Isso significa que não há torque atuando no sistema.

d d t m r   x d v d t = τ t = 0

Isso implica que o momento angular é constante ao longo do tempo, jpa que sua derivada é zero. Para finalizar, se o torque total sobre um sistema é zero, então o momento angular desse sistema é contante.

Resposta

Demonstração

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