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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 45

A função posição de uma nave espacial é

r t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k

e as coordenadas de uma estação espacial são 6 ,   4 ,   9 . O capitão quer que a nave ataque na estação espacial. Quando os motores devem ser desligados?

Passo 1

Fala galerinha. De boa?

O objetivo desta questão é determinar o momento em que os motores de uma nave espacial devem ser desligados para que a nave atinja uma estação espacial localizada nas coordenadas (6, 4, 9). A função posição da nave espacial é dada por:

r t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k

Como podemos resolver:

  1. Para encontrar o vetor velocidade teremos que derivar o vetor intrgral.
  2. Com o vetor velocidade podemos substituir na função horária da posição do MU

    3. r t + s   v t

  3. Substituindo o ponto dado ( 6 ,   4 ,   9 ) , obtemos o instante que o motor deve der desligado.

Vamos começar!

Passo 2

Então vamos começar calculando v t , para isso temos que derivar o vetor posição.

v t = r ' t

v t = d r d t = d d t ( r t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k )

v ( t ) = 1   i + 1 t j + 8 t t 2 + 1 2 k

E agora, r t + s   v t :

r t + s   v t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k + s 1   i + 1 t j + 8 t t 2 + 1 2 k

= 3 + t + s   i + 2 + ln ⁡ t + s t j + 7 - 4 t 2 + 1 + 8 t s t 2 + 1 2 k

Passo 3

Show! Agora podemos igualar cada coordenada de r t + s   v t a 6 ,   4 ,   9 , começando por x :

3 + t + s = 6

t + s = 6 - 3

s = 3 - t

E já vamos substituir essa expressão de s quando igualarmos z :

7 - 4 t 2 + 1 + 8 t 3 - t t 2 + 1 2 = 9

24 t - 12 t 2 - 4 t 2 + 1 2 = 2

t 4 + 8 t 2 - 12 t + 3 = 0

Podemos verificar que t = 1 é uma raiz da equação logo acima.

Passo 4

Para conferir se t = 1 é mesmo o valor que buscamos, vamos substituí-lo na coordenada y de r t + s   v t e ver se chegamos a 4 :

2 + ln ⁡ t + 3 - t t

Para t = 1

2 + ln ⁡ 1 + 3 - 1 1

Onde ln ⁡ 1 = 0

2 + 2 = 4

Sim, esse é o valor de t que buscamos, os motores devem ser desligados em t = 1 !

Resposta

t = 1

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