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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 30

Mostre que a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no ponto x 0 ,   y 0 da elipse é x 0 x a 2 +   y 0 y b 2 = 1 .

Passo 1

Para provar está equação vamos primeiramente realizar uma derivação implícita na equação da elipse. Também vamos tomar y ' =   d y d x

d x 2 a 2 + y 2 b 2 d x   = d 1 d x  

2 x a 2 + 2 y y ' b 2 = 0

2 y y ' b 2 = - 2 x a 2

Passo 2

Agora vamos isolar y '

y ' = - b 2 2 x a 2 2 y

y ' = - b 2 x a 2 y

Passo 3

Vamos aplicar x 0 ,   y 0 em y ' . Desta forma vamos achar o coeficiente angular m para reta tangente neste ponto.

y ' x 0 ,   y 0   = - b 2 x 0 a 2 y 0

Tendo x 0 ,   y 0   e m podemos achar a equação da reta tangente a elipse no ponto dado.

y - y 0 = - b 2 x 0 a 2 y 0 x - x 0

y 0 y - y 0 b 2 = - x 0 x - x 0 a 2

y 0 y - y 0 2 b 2 = - x 0 x - x 0 2 a 2

y 0 y b 2 - y 0 2 b 2 = - x 0 x a 2 + x 0 2 a 2

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

Passo 4

Como x 0 ,   y 0 faz parte da elipse temos que

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1

Assim conseguimos a seguinte expressão

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Provamos que está equação é a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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