47. Mostre que a equação x 3 + x 2 - 2 x = 1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo - 1,1 .

Passo 1

A questão pede para mostrar que existe, no mínimo, uma solução para a equação dada no enunciado. A primeira coisa que me vem à cabeça é o Teorema do Valor Intermediário. Só que esse teorema só pode ser usado para equações que estejam igualadas a zero. Então, a primeira coisa a fazer é deixar “tudo” do mesmo lado da igualdade.

Assim, obtemos

x 3 + x 2 - 2 x - 1 = 0   ( 1 )

Passo 2

Agora, só precisamos encontrar dois valores no intervalo dado que, quando aplicados à função, nos dêem resultados diferentes de zero e com sinais opostos.

Que tal começarmos testando os extremos?

Para x = - 1 , obtemos

- 1 3 + - 1 2 - 2 - 1 - 1 =

= - 1 + 1 + 2 - 1 =

= 1

Para x = 1 , obtemos

1 3 + 1 2 - 2 1 - 1 =

= 1 + 1 - 2 - 1 =

= - 1

Como a função descrita pela equação dada no enunciado é contínua (é um polinômio) e os valores testados anteriormente nos derem resultados com sinais contrários, sabemos, pelo TVI, que a eq. (1) tem, no mínimo, uma solução no intervalo - 1,1 .

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a equação x 3 + x 2 - 2 x = 1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo - 1,1 .

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