Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 47
47. Mostre que a equação tem, no mínimo, uma solução no intervalo .
Passo 1
A questão pede para mostrar que existe, no mínimo, uma solução para a equação dada no enunciado. A primeira coisa que me vem à cabeça é o Teorema do Valor Intermediário. Só que esse teorema só pode ser usado para equações que estejam igualadas a zero. Então, a primeira coisa a fazer é deixar “tudo” do mesmo lado da igualdade.
Assim, obtemos
Passo 2
Agora, só precisamos encontrar dois valores no intervalo dado que, quando aplicados à função, nos dêem resultados diferentes de zero e com sinais opostos.
Que tal começarmos testando os extremos?
Para obtemos
Para obtemos
Como a função descrita pela equação dada no enunciado é contínua (é um polinômio) e os valores testados anteriormente nos derem resultados com sinais contrários, sabemos, pelo TVI, que a eq. (1) tem, no mínimo, uma solução no intervalo .
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a equação tem, no mínimo, uma solução no intervalo .