Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 44
44. Prove: Se e são contínuas em , , então existe no mínimo uma solução para equação em [:Considere .]
Passo 1
A questão pede para mostrar que existe, no mínimo, uma solução para a equação dada no enunciado. A primeira coisa que me vem à cabeça é o Teorema do Valor Intermediário. Só que esse teorema só pode ser usado para equações que estejam igualadas a zero. Mas a questão nos deu uma sugestão. Acho uma boa a gente tentar usar. Então, vem comigo!!!
Passo 2
Vamos deixar o e o do mesmo lado da igualdade e ver o que acontece.
Agora simmmmm!!!!! Acho que vai dar para usar o TVI. Temos uma função e contínua em , pois as duas funções que a compõem são contínuas nesse intervalo.
Só precisamos de dois pontos em que a função assuma valores diferentes de zero e com sinais contrários. Perceba que o enunciado nos dá duas outras informações:
Olha o que a gente pode fazer:
Ou seja, existem dois valores no intervalo dado que, quando aplicados à função, resultam em números diferentes de zero e com sinais contrários. Portanto, pelo TVI, sabemos que existe no mínimo uma solução para equação em e isso finaliza a questão.
Resposta
Utilizando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que existe no mínimo uma solução para equação em