Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 46
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
46.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo na paz?
O que o enunciado quer é saber se a nossa série:
Converge ou diverge, através da soma da série, que será uma soma telescópica. Mas como funcionam as somas telescópicas?
Elas acontecem geralmente quando temos um termo com uma substração, onde parte de um termo cancela com um próximo, sobrando parte dos primeiros termos e parte dos últimos.
Calma que vamos ver com cuidado como isso acontece no próximo passo.
No fim vamos poder calcular o valor da soma calculando , beleza?
Bora lá!
Passo 2
Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o :
Relembrando como obtemos os termos:
Para :
Para :
Para :
Substituindo na nossa soma, teremos:
Analisando o padrão, percebemos que todos os termos se cancelam, menos o primeiro e o ultimo
Passo 3
Para descobrir a soma, basta aplicar o limite:
Então
Vemos então que nossa série tem uma soma, ou seja, converge para algum valor.
Resposta
A série converge e sua soma é: