Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 30
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Falaaa, pessoal!
Quando temos uma série no seguinte formato, podemos aplicar o Teste do Termo Geral ou Teste da Divergência:
De acordo com esse teste, se o limite do termo geral for diferente de zero ou não existir, a série diverge:
Se o limite do termo geral for igual a zero, então o teste é inconclusivo (e temos que aplicar outro):
Passo 2
Na série que estamos analisando, o termo geral é:
Então precisamos calcular o limite no infinito desse termo:
Mas se a gente simplesmente substituir o infinito, vamos ter uma indeterminação:
Então vamos manipular isso aqui. Vamos fazer a distributiva no numerador:
E no denominador, vamos aplicar o seguinte produto notável :
Mas se você substituir o infinito, vamos ter a mesma indeterminação de novo. Então vamos pro próximo passo e você vou te dar uma dica de milhões!
Passo 3
Quando estamos falando de divisões de polinômios e o limite é NO INFINITO, frequentemente, o jeitinho pra resolver é dividir tudo pela maior potência da variável. Desse jeito, vamos conseguir cortar vários termos!
Aqui, a maior potência é , então vamos dividir tudo por :
Então se liga nessa dica! Vamos colocar em evidencia tanto no denominador quanto no numerador
Simplificando :
E aqui que a mágica acontece. Todos esses termos com constante no numerador e no denominador são iguais a zero:
Então nosso limite fica:
Ufa, finalmente!
Portanto, como dissemos no passo 1, temos que , logo a série diverge.
Resposta
Diverge.