Seja , onde é uma função real, de uma variável real e derivável até a 2ª ordem. Suponha que .
- Mostre que .
- Determine uma não constante, para que se tenha .
Passo 1
- Vamos começar chamando de a função .
- Partindo do resultado do item anterior, supondo que , temos que:
Derivando a função então, temos:
Ok, fazendo a derivada de segunda ordem agora...
(lembrando que esse segundo surgiu por causa da regra da cadeia)
Da mesma forma a gente acha:
A gente tem pelo enunciado que:
Ou seja:
Prontinho! Provado está😉
Passo 2
E daí, .
Segue então que
Podemos ainda chamar de , sendo constantes.
E aí fica:
Daí a gente fica com:
Essa é uma função que resolve o problema, sendo constantes.
Resposta
- Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D54. Calota esférica F = xzi + yZj + k D. Toda a superfície da calota superior cortada a partir da esfera sólida x^2 + y^2
Cilindro e planos - Encontre o fluxo exterior do campo F = 3*x*z^2*i + y*j - z^3*k através da superfície do sólido no primeiro octante que é delimitado pelo cilindro x2 + 4y = 16 e os planos y = 2z ,
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D56. Cone e cilindro F = (6x + y)i - (x + z)j + 4yz k D: A região no primeiro octante limitada pelo cone z = raiz(x^2 + y^2
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D55. Calota esférica F = -2xi - 3yj + zk D: A região superior cortada da esfera sólida x² + y² + z² ≤ 2 pelo paraboloide z
Hemisfério - Encontre o fluxo para cima de F = (3z + 1) k através do hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z = 0 (a) com o teorema da divergência e (b) calculando a integral de fluxo diretamente