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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 6

Seja φ x , y = f x 2 + y 2 , onde f ( u ) é uma função real, de uma variável real e derivável até a 2ª ordem. Suponha que ∇ 2 φ = 0 .

  1. Mostre que u   f ' ' u = - f ' u ,   u > 0 .
  2. Determine uma f não constante, para que se tenha ∇ 2 = 0 .

Passo 1

  1. Vamos começar chamando de u a função x 2 + y 2 .

    2. Derivando a função então, temos:

    ∂ φ ∂ x = 2 x   f ' ( u )

    Ok, fazendo a derivada de segunda ordem agora...

    ∂ 2 φ ∂ 2 x = 2 f ' u + 2 x f ' ' u ( 2 x )

    (lembrando que esse segundo 2 x surgiu por causa da regra da cadeia)

    = 2 f ' u + 4 x 2 f ' ' ( u )

    Da mesma forma a gente acha:

    ∂ 2 φ ∂ 2 y = 2 f ' u + 4 y 2 f ' ' ( u )

    A gente tem pelo enunciado que:

    ∇ 2 = 0

    Ou seja:

    2 f ' u + 4 x 2 f ' ' u + 2 f ' u + 4 y 2 f ' ' u = 0

    4 x 2 + y 2 f ' ' u + 4 f ' u = 0

    4 u f ' ' u + 4 f ' u = 0

    4 u   f ' ' u = - 4 f ' ( u )

    u f ' ' u = - f ' u ,     u > 0

    Prontinho! Provado está😉

    Passo 2

  2. Partindo do resultado do item anterior, supondo que f ' u > 0 , temos que:

f ' ' u f ' u = - 1 u

E daí, ( ln ⁡ ( f ' u ) ) ' = ( - ln ⁡ u ) ' .

Segue então que ln ⁡ f ' u =   - ln ⁡ u + C

Podemos ainda chamar C de ln ⁡ k , sendo k   e   C   constantes.

E aí fica: ln ⁡ f ' u =   - ln ⁡ u + ln ⁡ k

= ln ⁡ f ' u = ln ⁡ k u

Daí a gente fica com:

f ' u = k u

f u = k ln ⁡ u + A

Essa é uma função que resolve o problema, sendo k   e   A constantes.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. f u = k ln ⁡ u + A
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