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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 25

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

25. x = c o s t ,   y = t + s e n   t ,   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

E aí, pessoal! Agora estamos entrando nas questões de comprimento de curva. Vem comigo!

Para calcular o comprimento de uma curva, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, basicamente, calculamos as derivadas, depois a raíz quadrada e depois a integral. Bora lá!

Passo 2

As derivadas são

d x d t = - s e n   t

d y d t = 1 + c o s t

Assim, podemos calcular a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = - s e n   t 2 + 1 + c o s t 2

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t + 2 c o s t + 1

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 2 c o s t + 1

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = 2 ( c o s t + 1 )

Passo 3

Antes de calcular a integral, vamos usar a seguinte relação: c o s t + 1 = 2 c o s 2 t 2 para reescrever

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ c o s 2 t 2 = 2 c o s t 2

Agora podemos calcular a integral sem muitos problemas

L = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 π 2 c o s t 2 d t

⇒ L = 4 s e n   t 2 | 0 π

⇒ L = 4 s e n   π 2 - 4 s e n   0

⇒ L = 4

Conseguimos, galera! Te vejo na próxima!

Resposta

L = 4

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