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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 85

Mostre que uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau) tem sempre exatamente um ponto de inflexão. Se seu gráfico possui três intersecções com o eixo x , x ₁ , x ₂ e x ₃ , mostre que a coordenada x do ponto de inflexão é x ₁ + x ₂ + x ₃   3 .

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... queremos demonstrar que uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau) tem sempre exatamente um ponto de inflexão.

Ademais, temos que mostrar que a coordenada x do ponto de ingflexão é dado por:

x ₁ + x ₂ + x ₃   3

E aí? Bora lá???

Mas antes... Temos que a função cúbica é da forma:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Passo 2

Agora vamos achar a segunda derivada dessa função:

f ' x = a x 3 + b x 2 + c x + d ' = 3 a x 3 - 1 + 2 b x 2 - 1 + c x 1 - 1 + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

f ' ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c ' = 3.2 . a . x 2 - 1 + 2 b x 1 - 1 + 0 = 6 a x + 2 b

Temos que f é côncavo para cima quando 6 a x + 2 b > 0 , assim, x > - b 3 a , e é côncavo para baixo quando x < - b 3 a , então o único ponto de inflexão ocorre em x = - b 3 a .

Passo 3

Se seu gráfico possui três intersecções com o eixo x , x ₁ , x ₂ e x ₃ , então a expressão de f fica da forma:

f x = a x - x ₁ x - x 2 x - x 3 = a x 3 - x 1 + x 2 + x 3 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x - x 1 x 2 x 3

Igualando a expressão a:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d = a x 3 - x 1 + x 2 + x 3 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x - x 1 x 2 x 3

Vamos igualar os coeficientes de x ² :

b = - a x 1 + x 2 + x 3

E temos a coordenada x do ponto de inflexão é x = - b 3 a :

- b 3 a = - - a x 1 + x 2 + x 3 3 a = x 1 + x 2 + x 3 3

Resposta

Demonstração

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