Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 93
Os três casos no Teste da Primeira Derivada cobrem as situações encontradas usualmente, mas não esgotam todas as possibilidades. Considere as funções , e cujos valores em são todos e, para
- Mostre que é um número crítico de todas as três funções, mas suas derivadas mudam de sinal infinitas vezes em ambos os lados de .
- Mostre que não tem nem um máximo nem um mínimo local em , que tem um mínimo local e que tem um máximo local.
Passo 1
Eaeeee, belezinha? Bom... a questão nos dá três funções dadas da seguinte forma para :
Onde para , então .
A questão nos pede para mostrar que que é um número crítico de todas as três funções, mas suas derivadas mudam de sinal infinitas vezes em ambos os lados de .
Para isso, temos que derivar cada função e, em seguida, aplicar o Teorema do Confronto para verificar a derivada quando se aproxima de zero.
A questão também nos pede para mostrar que não tem nem um máximo nem um mínimo local em , que tem um mínimo local e que tem um máximo local.
Nesse caso, devemos analisar e para perceber uma possível troca de sinal para concluirmos se há um máximo ou mínimo.
E aí? Bora lá?? 😉
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas das três funções:
Derivando pela regra do produto...
Na derivada de aplicamos a regra da cadeia.
Derivando tambem pela regra do produto e pela regra da cadeia
Derivando pelos mesmos métodos...
Tranqulio até aqui?
Passo 3
Além disso, nos é dado que , assim:
Usando o Teorema do Confronto:
Aplicando limite nas extremidades
Logo:
Para e temos
Assim é número crítico de , e .
Show?
Passo 4
Vamos analisar em :
Para , : e , então
Para , e , então
Portando, muda de sinal infinitas vezes em ambos os lados de .
Bacana, não é?
Passo 5
Vamos analisar em :
Para
Para
Portando, também muda de sinal infinitas vezes em ambos os lados de .
Está acompanhando?
Passo 6
Vamos analisar em :
Para
Para
Portando, muda de sinal infinitas vezes em ambos os lados de .
Estamos quase no fim!
Passo 7
Como e como , portanto é tanto positivo quanto negativo infinitamente em ambos os lado de , e arbitrariamente perto de , não tem nem um máximo local nem um mínimo local em .
Em relação a , como
para
Assim é um mínimo local.
Em relação a , como
para
Assim é um máximo local.
Entendeu direitinho?? Responde Aí!! 😉
Resposta
Demonstração