Enunciado

9. Mostre que a função 1 2 f x + f ( - x ) é par que a função 1 2 f x - f ( - x ) é impar.

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares e funções pares

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Uma função é ímpar se:

f x = f ( - x )

Passo 2

Chamaremos a função 1 2 f x + f ( - x ) de h ( x )

h x = 1 2 f x + f ( - x )

E trocaremos o sinal de h ( x ) , dessa forma:

h - x = 1 2 f - x + f ( - - x )

h - x = 1 2 f - x + f ( x )

Podemos trocar a posição dos termos que se somam assim :

h - x = 1 2 f x + f ( - x )

Você lembra o que era 1 2 f x + f ( - x ) ?

Era o h ( x ) !!

h - x = h ( x )

h x é par, então 1 2 f x + f ( - x ) também é par!!!

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa para a próxima expressão

Chamaremos a função 1 2 f x - f ( - x ) de h ( x )

h x = 1 2 f x - f ( - x )

E trocaremos o sinal de h ( x ) , dessa forma:

h - x = 1 2 f - x - f ( - - x )

h - x = 1 2 f - x - f ( x )

Botando o menos em evidência, temos:

h - x = - 1 2 f x - f ( - x )

Você lembra o que era 1 2 f x - f ( - x ) ?

Era o h ( x ) !!

h - x = - h ( x )

h x é impar, então 1 2 f x + f ( - x ) também é impar!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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