7. Demonstre que, se e são funções ímpares, então e são também funções ímpares

O enunciado nos diz que e são ímpares, então:

Agora temos que provar é uma função ímpar também, para isso trocaremos o sinal das funções assim:

Porém e . Substituindo acima, temos:

Botando o menos na frente de todos os termos, temos:

Essa expressão define uma função ímpar, portanto é impar!

Agora temos que demonstrar a segunda expressão, que é:

Chamaremos do mesmo utilizado antes

Trocando de sinal temos:

Porém e . Substituindo acima, temos:

.)

Botando o menos em evidência:

Porém você se lembra o que era?

Era o . Voltando para a expressão, vamos ter:

O que define uma função ímpar, então , logo também é ímpar.