Enunciado

Mostre que i - v   J v i x ,   i 2 = - 1 é uma função real. A função definida por I v x = i - v J v ( i x ) é chamada de função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem v .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem que:

J v x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

Então...

i - v   J v i x = i - v ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! Γ 1 + v + n i x 2 2 n + v

= i - v ∑ n = 0 ∞ - 1 n i 2 n ⋅ i v n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

= i - v ⋅ i v ∑ n = 0 ∞ - 1 n i 2 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

Passo 2

Como i 2 = - 1 e i - v ⋅ i v = 1 , temos:

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

= ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

= ∑ n = 0 ∞ 1 n ! Γ 1 + v + n x 2 2 n + v

E, não temos mais a parte imaginária i , ou seja, é uma função real 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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