Seja f(x) = p*x^2 + q*x + r uma função quadrática definida em um intervalo fechado [a, b] Mostre que existe exatamente um ponto c em (a, b) no qual f satisfaz a conclusão do teorema do valor médio.

Passo 1

Queremos mostrar que existe exatamente um único ponto c que satisfaz a conclusão do teorema do valor que nos diz que uma função contínua, como é o caso da nossa função quadrática, em um intervalo fechado existe pelo menos um ponto c tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Passo 2

Como sabemos que nossa função polinomial do segundo grau é contínua dentro dos reais podemos aplicar o teorema do valor médio. Assim,

f b - f a b - a = f ' ( c )

Mas devemos que f ' ( c ) pode ser escrito como

f ' c = 2 p c + q

Igualando essa equação a 0, vamos obter um valor que pode ser escrito como uma fração tal qual se apresenta no teorema e que esse valor é único. Dessa forma,

2 p c + q = 0 2 p c = - q

c =   - q 2 p  

Como   p ≠ 0 pelo fato da função ser do segundo grau temos que esse valor de c existe e é como só encontramos um ele é , também, único.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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