Seja f ( x )=p x 2+q x+ r uma função quadrática definida em um intervalo fechado [ a ,b ] . Mostre que existe exatamente um ponto c em ( a ,b ) no qual f satisfaz a conclusão do teorema do valor médio.

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 74

Seja uma função quadrática definida em um intervalo fechado Mostre que existe exatamente um ponto em no qual satisfaz a conclusão do teorema do valor médio.

Passo 1

Queremos mostrar que existe exatamente um único ponto que satisfaz a conclusão do teorema do valor que nos diz que uma função contínua, como é o caso da nossa função quadrática, em um intervalo fechado existe pelo menos um ponto tal que

Passo 2

Como sabemos que nossa função polinomial do segundo grau é contínua dentro dos reais podemos aplicar o teorema do valor médio. Assim,

Mas devemos que pode ser escrito como

Igualando essa equação a 0, vamos obter um valor que pode ser escrito como uma fração tal qual se apresenta no teorema e que esse valor é único. Dessa forma,

Como pelo fato da função ser do segundo grau temos que esse valor de existe e é como só encontramos um ele é , também, único.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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