Começando com a equação e^x1 ⋅ e^x2 = e^(x1 + x2) deduzida no texto, mostre que e^(-x) = 1 / e^(x) para qualquer número real x . Depois, mostre que (e^x1) / (e^x2) = e^(x1 - x2) para quaisquer números x1 e x^2 .

Passo 1

Partindo do ponto que e x 1 ⋅ e x 2 = e x 1 + x 2 é verdadeira, devemos mostrar as outras duas igualdades sendo válidas pra qualquer valor de x real.

Passo 2

Tomemos, então, y 1 = e x 1   e   y 2 = e x 2

Então,

x 1 = ln ⁡ y 1   e   x 2 = ln ⁡ y 2

x 1 - x 2 = ln ⁡ y 1 - l n y 2

Lembrando-se da propriedade da subtração de logaritmo temos

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Aplicando no nosso problema, teremos

x 1 - x 2 = ln ⁡ y 1 y 2

Podemos empregar a função exponencial em ambos os lados e obteremos

e x 1 - x 2 = e ln ⁡ y 1 y 2

e x 1 - x 2 = y 1 y 2

Mas devemos lembrar que y 1 = e x 1   e   y 2 = e x 2 . Então, finalmente teremos

e x 1 - x 2 = e x 1 e x 2     ( i )

Passo 3

Demonstrada a propriedade no passo anterior, agora ficou fácil demonstrar que

e - x = 1 e x

Utilizando a propriedade ( i ) com x 1 = 0 e x 2 = x teremos

e x 1 - x 2 = e x 1 e x 2

e 0 - x = e 0 e x

e - x = e 0 e x

e - x = 1 e x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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