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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 53

Relatos antigos contam que um trirreme (navio antigo de guerra grego ou romano), com 170 remos, certa vez percorreu uma distância de 184 milhas náuticas em 24 horas. Explique por que em algum momento durante esse percurso a velocidade do trirreme excedeu 7,5   n ó s (milhas náuticas por hora).

Passo 1

Tomemos como ponto de partida a posição 0 no ponto 0. Após 24 horas o trirreme percorreu uma distância de 184 milhas náuticas. Colocando essas informações na notação de função (sendo a distância uma função do tempo) s t c o m   t   e m   h o r a s temos que s 0 = 0   e   s 24 = 184 .

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Para o nosso caso, nosso intervalo é de [0,24] aplicando esse teorema obtemos

s 2 4 - s 0 2 4 - 0 = s ' ( c )

184 - 0 24 = s ' ( c )

184 24 = s ' ( c )

s ' c ≈ 7.667   n ó s

Passo 3

Lembrando-se que v t = s ' ( t ) nós podemos concluir pelo teorema do valor médio que a velocidade durante algum momento da trajetória excedeu o valor de 7.5 nós.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Construa um polinômio f ( x ) que tenha raízes em x=- 2 ,- 1 ,0 ,1e2 . Esboce o gráfico de f e de sua derivada f ' juntos. Como o que você vê está relacionado com o teorema de Rolle? A função g ( x )=
Suponha que f' ( x )≤ 1 para 1 ≤ x ≤ 4 . Mostre que f 4 -f 1 ≤ 3 .
Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.
Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 - x 4 para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 2 .
Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )=1 , que f'0 em ( - ∞ ,1 ) e que f'0 em ( 1 ,∞ ) . A. Mostre que f x ≥1 para todo x . B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.