Mostre que função r θ = tg ⁡ θ - c o t gθ - θ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 28

Mostre que função , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0,).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função :

Passo 3

Percebemos que é sempre maior do que 0 em , devido e as funções trigonométricas serem diferentes de 0 e, crescentes, nesse intervalo, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Portanto, para concluirmos o problema, resta- nos encontrar um valor para o qual a função seja positiva e um para que ela seja negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores que são valores próximos das extremidades do intervalo.