Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 n e n

Passo 1

E aí meus amores? Vamos pra mais uma!

Essa série é bem feia ne. E a gente quer saber se ela converge ou não. Você tem ideia?

Vamos dar uma trabalhada nessa expressão? Acho que vamos conseguir algo maneiro dela. Podemos escrever o somatório de uma soma como uma soma de somatórios. Assim,

∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 n e n = ∑ n = 1 ∞ 2 e n + ∑ n = 1 ∞ 4 e n

Hmmmmm, agora a coisa ficou menos feia. Essas 2 séries que apareceram são bem parecidas com a nossa famosa série geométrica:

∑ n = 1 ∞ q n

Dessa forma podemos ver que temos duas séries geométricas agora! Perfeito!

Uma série geométrica é dita convergente se a razão q está dentro do seguinte intervalo:

- 1 < q < 1

Hmmmm agora ficou melhor ainda ne! No passo 2 nós vamos analisar a convergência de cada uma delas separadamente e depois concluir sobre o resultado final, considerando que:

  • A soma de 2 séries convergentes é convergente.
  • A soma de 2 séries divergentes é divergente.
  • A soma de uma série convergente e outra divergente é divergente.

Passo 2

Vamos analisar as nossas 2 séries geométricas.

∑ n = 1 ∞ q n = ∑ n = 1 ∞ 2 e n

Essa aqui tem razão é q 1 = 2 / e , que está dentro do intervalo de convergência:

- 1 < 2 e < 1

Então essa série converge!

A outra série é:

∑ n = 1 ∞ q n = ∑ n = 1 ∞ 4 e n

E sua razão é q 2 = 4 / e , que está fora do intervalo de convergência:

4 e > 1

Logo, esse somatório é divergente.

E finalmente, a soma de uma série convergente com uma divergente é divergente.

Resposta

A série é divergente!

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