Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 34
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
E aí meus amores? Vamos pra mais uma!
Essa série é bem feia ne. E a gente quer saber se ela converge ou não. Você tem ideia?
Vamos dar uma trabalhada nessa expressão? Acho que vamos conseguir algo maneiro dela. Podemos escrever o somatório de uma soma como uma soma de somatórios. Assim,
Hmmmmm, agora a coisa ficou menos feia. Essas 2 séries que apareceram são bem parecidas com a nossa famosa série geométrica:
Dessa forma podemos ver que temos duas séries geométricas agora! Perfeito!
Uma série geométrica é dita convergente se a razão está dentro do seguinte intervalo:
Hmmmm agora ficou melhor ainda ne! No passo 2 nós vamos analisar a convergência de cada uma delas separadamente e depois concluir sobre o resultado final, considerando que:
- A soma de 2 séries convergentes é convergente.
- A soma de 2 séries divergentes é divergente.
- A soma de uma série convergente e outra divergente é divergente.
Passo 2
Vamos analisar as nossas 2 séries geométricas.
Essa aqui tem razão é , que está dentro do intervalo de convergência:
Então essa série converge!
A outra série é:
E sua razão é , que está fora do intervalo de convergência:
Logo, esse somatório é divergente.
E finalmente, a soma de uma série convergente com uma divergente é divergente.
Resposta
A série é divergente!