Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 20
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo bem?
A questão começar pedindo para mostrarmos que a integral de linha:
É independente do caminho. Para mostrar que a integral de linha é independente do caminho, vamos verificar se o campo vetorial associado a ela é conservativo. Aqui o campo é:
Esse campo será conservativo se obedecer a igualdade:
Que são as derivadas parciais das componentes do campo vetorial. Aqui no nosso caso teremos:
Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e após isso precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando nossas derivadas parciais:
- Derivando em , tratando como constante:
- Derivando em , tratando como constante:
Viu como as derivadas são iguais? Então provamos nossa igualdade.
Então nosso campo é conservativo!
Uhuuul deu igual, então ele é conservativo! Então sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais. Mas ainda precisamos apenas da função.
Passo 3
Como o campo é conservativo, para encontrar a função potencial, vamos integrar em relação a e depois derivar em relação a . Assim, temos que:
Integrando em relação a :
Como:
Ficamos com:
Como estamos integrando em , surge uma constante no nosso resultado, que pode ser uma função em : . Derivando a função que acabamos de encontrar em relação a :
Vamos igualar com o que temos acompanhando na nossa integral de linha
Logo, temos que:
Temos então que nossa função potencial é
Passo 4
Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que
Substituindo os pontos, temos:
Então: