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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 98

Mostre que underset(n -> oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n = e^x , para qualquer x>o

Passo 1

Para realizar essa demonstração vamos considerar f (w) = ln w . Logo f^' (x) = (1)/(w)

Agora, da definição de derivada temos:

f^' (w) = underset(h -> 0)(lim) (f (w + h) - f ( x )^())/(h)

Sabendo que f^' (x) = (1)/(x) , fazemos as substituições:

(1)/(w) = underset(h -> 0)(lim) (l n (w + h) - w^())/(h)

Usando as propriedades de logaritmos temos:

(1)/(w) = = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(h) . ln (w + h)/(x))

(1)/(w) = = underset(h -> 0)(lim) (ln (w + h)/(w))^((1)/(h))

Vamos transformar em exponencial em ambos os lados, ok?

e^((1)/(w)) = e^(underset(h -> 0)(lim) (ln (w + h)/(w))^((1)/(h)))

e^((1)/(w)) = underset(h -> 0)(l i m) e^(underset(h -> 0)(lim) (ln (w + h)/(w))^((1)/(h)))

Assim,

e^((1)/(w)) = underset(h -> 0)(l i m) (1 + (h)/(w))^((1)/(h))

Passo 2

Agora, chamaremos de x = (1)/(w) e n = (1)/(h)

Assim, como h→0 , n→∞ e ficamos com:

e^x = underset(n -> oo)(l i m) (1 + (x)/(n))^n

Que é o queríamos demonstrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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