Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 79
- Mostre que para
- Mostre que
Passo 1
Fala meus queridos!
Nessa questão temos que mostrar duas coisas.Primeiro, temos que mostrar que:
E que isso é válido para
E depois temos que mostrar que:
Em ambos os casos temos a mesma função. Vamos ver o que precisamos para provar essas expressões em cada caso.
Passo 2
Para provar que:
Vamos chamar de uma função tal que , derivando, temos que e temos que
Então, podemos ver que está aumentando no intervalo .
Se então , adicionando 1 em ambos os lados, temos
Isso quer dizer que
Então
Beleza, provamos o primeiro lado da desigualdade!
Agora, vamos dizer o seguinte, seja , derivando, temos que e temos que
Então, podemos ver que está aumentando no intervalo , então, desde que , quando .
Agora, seja , quando
Então
Logo,
E como já havíamos provado anteriormente o outro lado da desigualdade, basta juntar tudo
Para , então
Passo 3
Agora temos que provar que:
Para isso, nós vamos usar a seguinte propriedade.
Se:
Então:
Aplicando na nossa desigualdade e usando os limites de 0 até 1, teremos:
Agora basta resolver as integrais da esquerda e da direita:
Pronto!
Resposta
Dedução nos Passos.