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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10i

10. Calcule

i)

int (5^x + e^(- x)) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (5^x + e^(- 1)) d x

Separando em dois termos, temos:

I = int 5^x d x + int e^(- x) d x

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

c ) int e^x d x = e^x + k

Logo,

int e^(- x) d x = - e^(- x) + k

Então basta calcularmos int 5^x d x !

Passo 2

Então vamos deixar o 5^x parecido com a relação aí de cima.

5^x = e^(ln (5^x))

Logo,

I = int e^(ln (5^x)) d x

Como ln (5^x) = x ln ( 5 ) :

I = int e^(x ln (5)) d x

Pra finalizar, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x ln (5)

Derivando,

d u = ln ( 5 ) d x

Passo 3

Nossa integral era:

I = int e^(x ln (5)) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int e^u (1)/(ln (5)) d u

Assim,

I = (1)/(ln (5)) int e^u d u

Usando a relação do Passo 1:

I = (1)/(ln (5)) (e^u + k_1)

Como u = x ln (5) :

I = (1)/(ln (5)) (e^(x ln (5)) + k_1)

Portanto:

I = (1)/(ln (5)) e^(x ln (5)) + k_2

Agora é só juntar tudo!

I = int 5^x d x + int e^(- x) d x

Por fim,

I = ((1)/(ln (5)) e^(x ln (5)) + k_2) + ( - e^(- x) + k )

Juntando tudo em uma constante e usando que 5^x = e^(ln (5^x)) :

I = (1)/(ln (5)) 5^x - e^(- x) + k

Resposta

int (5^x + e^(- x)) dx = (1)/(ln (5)) 5^x - e^(- x) + k

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