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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10e

10. Calcule

e)

int t g (2 x) d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = int t g (e x) d x

Como t g (2 x) = s e n ( 2 x ) // cos (2 x) :

I = int (s e n (2 x))/(cos (2 x)) d x

Passo 2

A ideia aqui vai ser fazer uma substituição de variável, vamos chamar o denominador de u . Olha só:

u = cos (2 x)

Derivando,

d u = - 2 s e n (x) d x

OBS: Não esqueça da regra da cadeia!

Então,

- (1)/(2) d u = s e n (x) d x

Nossa integral era:

I = int (s e n (x))/(cos (x)) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int (- (1)/(2) d u)/(u) = - (1)/(2) int (d u)/(u)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + k

Passo 3

Integrando, temos:

I = - (1)/(2) ln |u| + k

Voltando para variável x :

u = cos (2 x)

Portanto,

I = - (1)/(2) ln |cos (2 x)| + k

Resposta

int t g (2 x) d x = - (1)/(2) ln |cos (2 x)| + k

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