Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 67
Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial metros por segundo a partir de um ponto metros acima do solo. Mostre que
Passo 1
E aí, galerinha! 😎
Nesse problema temos um objeto que é lançado para cima com velocidade inicial metros por segundo a partir de um ponto inicial metros acima do solo.
Nosso objetivo é mostrar que vale a seguinte igualdade:
Tem ideia de como fazemos isso?
Precisamos encontrar a função velocidade e a função posição , para mostrar que a igualdade do enunciado é válida, beleza?
Mas parece que não temos muitas informações, né? Vamos com calma!
Relembrando alguns conceitos físicos, percebemos que temos mais informações para resolver a questão 😊.
- A aceleração gravitacional é uma função constante dada por:
- A função aceleração é a derivada da função velocidade .
- A função velocidade é a derivada da função posição :
- O objeto possui uma velocidade inicial .
- O objeto possui uma posição inicial
Então, pensa só aqui comigo, a função posição é uma função que tem como derivada a função velocidade . E a função velocidade v é uma função que tem como derivada a função aceleração certo?
Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que as funções e são as primitivas das funções e , respectivamente.
Então, vamos encontrar essas duas primitivas e mostrar que vale a igualdade do enunciado.
Espia só os próximos passos! 👀
Passo 2
Começamos encontrando a primitiva da função aceleração
Temos uma função polinomial, e podemos usar a Regra da Potência que diz o seguinte:
Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Usando isso, vamos ter que a primitiva de é
onde é a constante necessária em uma primitiva geral (não podemos esquecer dela, né?).
Mas se liga, temos a informação que
certo?
Dessa forma:
ou seja,
e a função procurada, primitiva de , é dada por
Passo 3
Agora temos que encontrar a primitiva da função velocidade encontrada no passo anterior
Novamente, usando a Regra da Potência em cada termo:
onde é a constante necessária em uma primitiva geral.
Assim, temos que
Porém, como sabemos que
então
ou seja,
Assim, a função procurada é dada por
Passo 4
Vamos mostrar que vale a igualdade
Para isso, vamos calcular
Bem,
Reorganizando os termos, temos que
Porém, observe que
e que
Dessa forma, vale a igualdade
E aí! o que achou? Responde Aí! 😉
Resposta
A resposta foi dada nos passos anteriores.